1. Найдите все натуральные числа $p,q,r,$ не являющиеся составными, такие, что $p(p-8)=r^2-q^2.$

2. Дан четырехугольник $ABCD$ такой, что $\angle DAB = 15^\circ,$ $\angle ABC = 75^\circ,$ $\angle BCD = 15^\circ.$ Найти угол между прямыми $AC$ и $BD.$

3. Вычислить $\sqrt{34 + 24\sqrt2} - \sqrt{34-24\sqrt2}.$

4. Решить уравнение $(x^2-8x)^2 = (x+2)(10-x).$

5. Какое наименьшее число участников может быть на семинаре Математическая вертикаль, если известно, что женщин, участвующих в нем, меньше 84%, но больше 83,1%?

6. В уравнении $x^2-3ax+4 = 0$ сумма кубов действительных корней равна 144. Найти $a.$

7. Решить систему $${x^2=21+y^2,\\ x^2+3xy+2y^2=42.}$$

8. Предположим, что вы забыли пароль от электронной почты, но помните, что это шестизначный номер, в котором были числа 178 и 21. Какое наименьшее количество номеров надо перебрать, чтобы наверняка открыть почтовый ящик?

9. Доказать неравенство $$\sqrt[3]{2018-\sqrt[3]{2018}} + \sqrt[3]{2018-\sqrt[3]{2018}} < 2\sqrt[3]{2018}.$$

10. Изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $(3y-2)^2 \ge 9(x-4)^2.$

11. Решить неравенство $(x^2-4x-5) \sqrt{x^2-5x+6}\ge 0.$

12. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $M$ так, что $AM:BM =3:2.$ На стороне $BC$ взята точка $N$ так, что продолжение $NM$ за точку $M,$ пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в точке $L,$ причем $AL=AC.$ Найдите отношение площади треугольника $MBN$ к площади четырёхугольника $AMNC.$